Quando i tassi cambiano, il prezzo di un’obbligazione non reagisce in modo lineare. La prima misura da usare è la duration, che approssima la sensibilità del prezzo a una variazione del rendimento. La seconda è la convessità, che corregge l’errore della linearizzazione e diventa rilevante per scadenze lunghe o shock ampi.
Il legame tra prezzo e rendimento
Il prezzo di un bond è il valore attuale dei flussi futuri:
P = Σ Ct/(1+y)t + VN/(1+y)N
Dove Ct è la cedola, VN il valore nominale, y il rendimento e N la scadenza. Se il rendimento sale, il fattore di sconto aumenta e il prezzo scende. La relazione è inversa e convessa.
Duration di Macaulay e duration modificata
La duration di Macaulay è la scadenza media ponderata dei flussi, con pesi pari al valore attuale di ciascun pagamento. Per stimare la variazione percentuale del prezzo si usa la duration modificata:
ΔP/P ≈ −Dmod × Δy
Un’obbligazione con duration modificata pari a 8,5 perde quindi circa l’8,5% se il rendimento aumenta di 100 punti base, cioè di 0,01 in termini decimali. L’approssimazione funziona bene per piccoli movimenti, ma ignora la curvatura della funzione prezzo-rendimento.
Perché serve la convessità
La convessità misura come cambia la duration al variare del rendimento. Inserendola nell’approssimazione otteniamo:
ΔP/P ≈ −DmodΔy + ½ Convexity(Δy)2
Il termine quadratico è positivo sia per rialzi sia per ribassi dei tassi. Per questo la duration tende a sovrastimare la perdita nei rialzi e a sottostimare il guadagno nei ribassi.
Esempio numerico
Consideriamo un bond decennale con valore nominale 100, cedola annua del 3% e rendimento a scadenza del 3%. In questa configurazione il prezzo è vicino alla pari. Supponiamo una duration modificata di 8,5 e una convessità di 85.
| Shock sul rendimento | Duration | Correzione di convessità | Variazione stimata |
|---|---|---|---|
| +25 bp | −2,125% | +0,027% | −2,098% |
| +50 bp | −4,250% | +0,106% | −4,144% |
| +100 bp | −8,500% | +0,425% | −8,075% |
| −100 bp | +8,500% | +0,425% | +8,925% |
Con uno shock di +100 punti base, la duration da sola stimerebbe una perdita dell’8,5%. La convessità riduce la perdita stimata a circa l’8,08%. Con uno shock negativo di pari ampiezza, invece, la convessità aumenta il guadagno a circa l’8,93%.
Caso empirico: il BTP 3,45% luglio 2031
Per passare dall’esempio teorico a un titolo realmente negoziato, consideriamo il BTP a tasso fisso 3,45% con scadenza luglio 2031, identificato dall’ISIN IT0005595803. Alla data di consultazione del 25 settembre 2026, Borsa Italiana riportava un prezzo di riferimento di circa 97,70, un rendimento effettivo lordo a scadenza del 4,02% e una duration modificata pari a 4,3.
Usando la relazione duration-prezzo, uno shock parallelo di +100 punti base produrrebbe una variazione iniziale di circa −4,3%. Su un investimento nominale di 10.000 euro, il valore di mercato scenderebbe quindi di circa 430 euro, prima di considerare cedole, rateo, spread e convessità. Con uno shock opposto di −100 punti base, l’effetto speculare sarebbe un guadagno iniziale di circa 430 euro.
| Dato osservato | Valore |
|---|---|
| Strumento | BTP 3,45% luglio 2031 |
| ISIN | IT0005595803 |
| Prezzo di riferimento | 97,70 |
| Rendimento effettivo lordo | 4,02% |
| Duration modificata | 4,3 |
Il risultato è una stima di sensibilità, non una previsione del rendimento totale. Se i tassi salgono perché aumenta il rischio percepito sull’Italia, anche lo spread BTP-Bund può ampliarsi: in quel caso la perdita effettiva sarebbe superiore a quella spiegata dal solo movimento del tasso risk-free. Il prezzo osservato incorpora inoltre liquidità, aspettative sui tassi BCE e domanda degli investitori.
Fonte dati: Borsa Italiana, scheda IT0005595803, consultata il 25 settembre 2026.
Limiti dell’approccio
Duration e convessità descrivono bene uno spostamento parallelo della curva dei rendimenti. Nella pratica la curva può cambiare forma: i tassi a due anni possono salire mentre quelli a dieci anni scendono. In quel caso serve una misura per nodo, come la key rate duration, che separa la sensibilità alle diverse scadenze.
Il modello presume inoltre che spread creditizi, liquidità e probabilità di rimborso restino invariati. Per un corporate bond questa ipotesi è spesso restrittiva: uno shock macroeconomico può far salire contemporaneamente il tasso risk-free e lo spread dell’emittente.
Implicazioni per un portafoglio
La duration di portafoglio è la media ponderata delle duration dei singoli titoli. Se un portafoglio vale 1 milione di euro e ha duration modificata 6, uno shock parallelo di +100 punti base produce una perdita iniziale di circa 60.000 euro, prima della correzione di convessità e degli effetti sugli spread.
La gestione non consiste nel minimizzare sempre la duration. Un investitore con passività lunghe può volerla mantenere elevata per coprire il rischio di reinvestimento. La scelta corretta dipende dall’orizzonte, dalla tolleranza alla volatilità e dalla struttura delle passività.
Conclusione
La duration fornisce una prima misura immediata del rischio di tasso; la convessità rende la stima più realistica quando lo shock è ampio. Per analisi professionali conviene combinare queste misure con key rate duration, scenari non paralleli della curva e stress sugli spread di credito.
Nota metodologica: i numeri dell’esempio sono illustrativi e arrotondati. Il prezzo effettivo dipende da frequenza delle cedole, convenzioni di calcolo, calendario dei flussi e metodo con cui viene stimato il rendimento.